Analyse numérique et Optimisation

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Chapitre I

  1. Introduction
  2. Partie intégrante des mathématiques appliquées, l’Optimisation se veut de résoudre des problèmes scientifiques et industriels. L’optimisation est une méthode (ensemble de méthodes) qui permet d’obtenir le meilleur résultat approché d’un problème de recherche de minimum d’effort à fournir pour une machine (par exemple) ou le besoin d’obtenir un bénéfice maximal dans une gestion de production ou dans la gestion d’un portefeuille.

    L’optimisation est la transcription d’un postulat mathématique en algorithme implémentable. Optimiser revient donc à estimer des minima et des maxima d’une fonction ou d’un système de fonction. Ces dites fonctions peuvent être linaire ou non linéaire. Les optima (extremum) d’une fonction sont étudiés et caractérisés en Analyse Numérique en dimension une et pour des fonctions continues.

    La difficulté de l’optimisation est de concevoir des algorithmes pour évaluer les optimums d’une fonction dans une dimension supérieure à un avec des contraintes et munies de variables discrètes. L’émergence de nombreuses méthodes traduit simplement le constat qu’il n’y a pas de méthode unique qui permet de résoudre tous les problèmes d’optimisation.

     

  3. Un peu d’histoire
  4. Nous devons, en grande partie, l’existence de l’optimisation par Taylor, Newton, Lagrange et Cauchy qui ont élaboré les bases des développements limités. Les méthodes d’optimisation des équations différentielles ont été réalisées par les contributions de Newton et Leibnitz. Cauchy fut le premier à mettre en œuvre une méthode d’optimisation, méthode du pas de descente, pour la résolution de problème sans contrainte. Depuis ces considérables contributions, il y a eu de peu d’avancé. Il faut dire qu’à l’époque les mathématiciens et les ingénieurs calculaient à la main.

    Il faut attendre le milieu du vingtième siècle, avec l’émergence des calculateurs et surtout la fin de la seconde guerre mondiale pour voir apparaître des avancées spectaculaires en termes de techniques d’optimisation. A noter, ces avancées ont été essentiellement obtenues en Grande Bretagne. En mille neuf cent quarante sept, l’américain Dantzig propose un algorithme pour résoudre des problèmes linaire avec contraintes. En mille neuf cent cinquante sept, Bellman énonça le principe d’optimalité des problèmes de programmation dynamique.

    De nombreuses contributions apparaissent ensuite dans les années soixante. Zoutendijk et Rosen pour la programmation non linéaire ainsi que Carroll, Fiacco et McCormick. Dans la même période, Duffin, Zener et Peterson ont développé les méthodes de programmation géométrique. Quant à Gomory, il consacra ses travaux à l’élaboration d’algorithme de programmation discrète, on lui qualifie le titre de "père de l’optimisation combinatoire".

    Dantzig, Charnes et Cooper se sont attaqués à la difficile tâche de développer des techniques de programmation stochastique. Ils ont, en effet permis la résolution de système dotés de paramètres linéairement indépendants et normalement distribués (un savant mélange d’optimisation et de probabilité).

    Récemment de nombreuses études s’orientent vers des techniques d’optimisations à base de théorie des jeux dont les bases furent cimentées par Von Neumann en mille neuf cent vingt huit (nous lui devons également l'architecture de nos PC qui n’ont guère évolués).

     

  5. Application
  6. Les applications sont nombreuses et multiples. Les ingénieurs ont même su faire des émules au sein de la communauté économique. Nous pouvons toutefois citer quelques exemples où sont employés les techniques d’optimisation :

    La conception et la fabrication automobile, aéronautique, aérospatiale.
    Le calcul d’éléments finis pour la modélisation et l’élaboration de structure en génie civil.
    La thermodynamique et l’écoulement des fluides.
    La modélisation et l’élaboration de structure plastique.
    La conception de machines électriques.
    Le transport d’énergie des réseaux électriques.
    Les protocoles de transport d’informations des réseaux informatique.
    L’analyse statique de données issues de modèles expérimentaux empiriques pour la représentation d’un phénomène physique.
    La gestion de production (planning, gestion, ordonnancement).
    La gestion économique (profit maximal, perte minimale).
    Les stratégies militaires.
    L’optimisation des contrôles des systèmes en automatique.

     

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    mise à jour/update 20 juillet 2003